計(jì)算機(jī)科學(xué)和數(shù)學(xué)的關(guān)系有點(diǎn)奇怪。二三十年以前，計(jì)算機(jī)科學(xué)基本上還是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支。而現(xiàn)在，計(jì)算機(jī)科學(xué)擁有廣泛的研究領(lǐng)域和眾多的研究人員，在很多方面反過來推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展，從某種意義上可以說是孩子長(zhǎng)得比媽媽還高了。青出于藍(lán)，而勝于藍(lán)可以形容計(jì)算機(jī)與數(shù)學(xué)的關(guān)系。

但不管怎么樣，這個(gè)孩子身上始終流著母親的血液。這血液是the mathematical underpinning of computer science(計(jì)算機(jī)科學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ))，-- 也就是理論計(jì)算機(jī)科學(xué)。

現(xiàn)代計(jì)算機(jī)科學(xué)和數(shù)學(xué)的另一個(gè)交叉是計(jì)算數(shù)學(xué)/數(shù)值分析/科學(xué)計(jì)算，傳統(tǒng)上不包含在理論計(jì)算機(jī)科學(xué)以內(nèi)。所以本文對(duì)計(jì)算數(shù)學(xué)全部予以忽略。最常和理論計(jì)算機(jī)科學(xué)放在一起的一個(gè)詞是什么?答：離散數(shù)學(xué)。這兩者的關(guān)系是如此密切，以至于它們?cè)诓簧賵?chǎng)合下成為同義詞。

傳統(tǒng)上，數(shù)學(xué)是以分析為中心的。數(shù)學(xué)系的同學(xué)要學(xué)習(xí)三四個(gè)學(xué)期的數(shù)學(xué)分析，然后是復(fù)變，實(shí)變，泛函等等。實(shí)變和泛函被很多人認(rèn)為是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的入門。在物理，化學(xué)，工程上應(yīng)用的，也以分析為主。

隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)的出現(xiàn)，一些以前不太受到重視的數(shù)學(xué)分支突然重要起來。人們發(fā)現(xiàn)，這些分支處理的數(shù)學(xué)對(duì)象與傳統(tǒng)的分析有明顯的區(qū)別：分析研究的對(duì)象是連續(xù)的，因而微分，積分成為基本的運(yùn)算;而這些分支研究的對(duì)象是離散的，因而很少有機(jī)會(huì)進(jìn)行此類的計(jì)算。人們從而稱這些分支為;離散數(shù)學(xué)

離散數(shù)學(xué)經(jīng)過幾十年發(fā)展，基本上穩(wěn)定下來。一般認(rèn)為，離散數(shù)學(xué)包含以下學(xué)科：

1) 集合論，數(shù)理邏輯與元數(shù)學(xué)。這是整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是計(jì)算機(jī)科學(xué)的基礎(chǔ)。

2) 圖論，算法圖論;組合數(shù)學(xué)，組合算法。計(jì)算機(jī)科學(xué)，尤其是理論計(jì)算機(jī)科學(xué)的核心是算法，而大量的算法建立在圖和組合的基礎(chǔ)上。

3) 抽象代數(shù)。代數(shù)是無所不在的，本來在數(shù)學(xué)中就非常重要。在計(jì)算機(jī)科學(xué)中，人們驚訝地發(fā)現(xiàn)代數(shù)竟然有如此之多的應(yīng)用。

但是，理論計(jì)算機(jī)科學(xué)僅僅就是在數(shù)學(xué)的上面加上;離散;的帽子這么簡(jiǎn)單嗎?一直到大約十幾年前，終于有一位大師告訴我們：不是。

D.E.Knuth(他有多偉大，我想不用我廢話了)在Stanford開設(shè)了一門全新的課程Concrete Mathematics。 Concrete這個(gè)詞在這里有兩層含義：

第一，針對(duì)abstract而言。Knuth認(rèn)為，傳統(tǒng)數(shù)學(xué)研究的對(duì)象過于抽象，導(dǎo)致對(duì)具體的問題關(guān)心不夠。他抱怨說，在研究中他需要的數(shù)學(xué)往往并不存在，所以他只能自己去創(chuàng)造一些數(shù)學(xué)。為了直接面向應(yīng)用的需要，他要提倡;具體;的數(shù)學(xué)。

在這里我做一點(diǎn)簡(jiǎn)單的解釋。例如在集合論中，數(shù)學(xué)家關(guān)心的都是最根本的問題--公理系統(tǒng)的各種性質(zhì)之類。而一些具體集合的性質(zhì)，各種常見集合，關(guān)系，映射都是什么樣的，數(shù)學(xué)家覺得并不重要。然而，在計(jì)算機(jī)科學(xué)中應(yīng)用的，恰恰就是這些具體的東西。Knuth能夠首先看到這一點(diǎn)，不愧為當(dāng)世計(jì)算機(jī)第一人。

第二，Concrete是Continuous(連續(xù))加上discrete(離散)。不管連續(xù)數(shù)學(xué)還是離散數(shù)學(xué)，都是有用的數(shù)學(xué)!前面主要是從數(shù)學(xué)角度來看的。從計(jì)算機(jī)角度來看，理論計(jì)算機(jī)科學(xué)目前主要的研究領(lǐng)域包括：可計(jì)算性理論，算法設(shè)計(jì)與復(fù)雜性分析，密碼學(xué)與信息安全，分布式計(jì)算理論，并行計(jì)算理論，網(wǎng)絡(luò)理論，生物信息計(jì)算，計(jì)算幾何學(xué)，程序語(yǔ)言理論等等。這些領(lǐng)域互相交叉，而且新的課題在不斷提出，所以很難理出一個(gè)頭緒來。

下面隨便舉一些例子。

由于應(yīng)用需求的推動(dòng)，密碼學(xué)現(xiàn)在成為研究的熱點(diǎn)。密碼學(xué)建立在數(shù)論(尤其是計(jì)算數(shù)論)，代數(shù)，信息論，概率論和隨機(jī)過程的基礎(chǔ)上，有時(shí)也用到圖論和組合學(xué)等。

很多人以為密碼學(xué)就是加密解密，而加密就是用一個(gè)函數(shù)把數(shù)據(jù)打亂。這就大錯(cuò)特錯(cuò)了?，F(xiàn)代密碼學(xué)至少包含以下層次的內(nèi)容：

第一，密碼學(xué)的基礎(chǔ)。例如，分解一個(gè)大數(shù)真的很困難嗎?能否有一般的工具證明協(xié)議正確?

第二，密碼學(xué)的基本課題。例如，比以前更好的單向函數(shù)，簽名協(xié)議等。

第三，密碼學(xué)的高級(jí)問題。例如，零知識(shí)證明的長(zhǎng)度，秘密分享的方法。

第四，密碼學(xué)的新應(yīng)用。例如，數(shù)字現(xiàn)金，叛徒追蹤等。

現(xiàn)代社會(huì)科學(xué)技術(shù)高速發(fā)展，數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展也已經(jīng)到了非常抽象的地步，但是計(jì)算機(jī)所應(yīng)用的數(shù)學(xué)依然是之前的經(jīng)典東西，怎么樣學(xué)好數(shù)學(xué)，通過計(jì)算機(jī)這個(gè)平臺(tái)用好數(shù)學(xué)，將計(jì)算引入世界的每一個(gè)角落，無時(shí)無可得都在運(yùn)算，用于提高人類的生活質(zhì)量，這將是我們計(jì)算機(jī)學(xué)科從業(yè)人員的終極目的和追求。

數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)這對(duì)較為古遠(yuǎn)的母子關(guān)系，現(xiàn)在也已經(jīng)有了新的發(fā)展。學(xué)好計(jì)算機(jī)離不開好好學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，而學(xué)好計(jì)算機(jī)卻也大大體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的作用也不可忽視。在這個(gè)需要不斷進(jìn)步和發(fā)展的時(shí)代，學(xué)習(xí)永無止境。增長(zhǎng)知識(shí)的途徑也越來越多，社會(huì)的發(fā)展需要越來越多的計(jì)算機(jī)人才的出現(xiàn)。計(jì)算機(jī)的發(fā)展提高了人們的生活水準(zhǔn)，帶動(dòng)了政治、經(jīng)濟(jì)、文化的發(fā)展。今天就先和大家介紹到這里，想要了解更多關(guān)于計(jì)算機(jī)的信息，請(qǐng)繼續(xù)關(guān)注中培偉業(yè)。